《射雕英雄傳》第29章“黑沼隱女”，描寫了一位原為大理國皇妃、后隱居黑沼的女子——瑛姑（劉瑛）。瑛姑綽號“神算子”，多年來獨自隱居茅舍，潛心鉆研各種算題。瑛姑的故事雖然出自小說家的向壁虛構，卻從一個側面巧妙地反映了中國古代算學的成就。書中的這一段描寫，不失為了解中國古代算學成就的一個入口。

據《射雕英雄傳》描寫，郭靖和黃蓉兩人走進堂中，“只見當前一張長桌，上面放著七盞油燈，排成天罡北斗之形。地下蹲著一個頭發花白的女子，身披麻衫，凝目瞧著地下一根根的無數竹片”。這些竹片“長約四寸，闊約二分，知是計數用的算子”。這里的“算子”，即是中國古代的記數工具——算籌。

“算”，在中國古代有三種寫法：筭、算、祘。筭，《說文解字》解釋為“長六寸，計歷數者。言常弄乃不誤也”。筭是一個會意字，由“竹”和“弄”兩部分組成，指的是一種六寸長的竹制計算工具。算，《說文解字》解釋為“數（shù）也。從竹從具，讀若筭”。算也是一個會意字，由“竹”和“具”兩部分組成。段玉裁注解說：“從竹者，謂必用筭以計也；從具者，具數也。”也就是從計算工具演變為應用的過程。祘字較為晚出，由兩個“示”字合并而成。《說文解字》解釋說：“明視以筭之。”關于“示”，許慎又解釋說：“垂象，見吉兇，所以示人也。從二。三垂，日月星也。觀乎天文，以察時變。示，神事也。”也就是把上天的某種征象顯示出來的意思。

“算”字的三種寫法，是我們理解中國古代算學成就的一把鑰匙。其一，它表明竹制的算籌是中國古代的記數工具。這與古希臘的做法截然不同。古希臘使用小石子記數，古希臘語的“碎石”后來演變為拉丁語中的Calculus，也就是今日英文Calculation一詞的詞源。其二，“算”同“祘”，后者從示，有著象神的含義，表明計算一事可由神明來驗證。在某種意義上，中國古代的算學也是一種“通天”之學，但與古希臘畢達哥拉斯所說的“萬物皆數”又有所區別。其三，算籌記數，使用十進位值制，便于計算。五以下的數目，直接用幾根籌表示；五以上的數目，則用一根籌放在上面，余下的每一根籌表示一。表示數目，又有縱式和橫式兩種形式。表示多位數時，則要使各位數目的籌式縱橫相間。數字有空位時，則不放算籌（中國古代沒有表示數字0的符號）。這種同一數碼在不同位置（數位）產生不同位置值（也叫權）的制度，被稱作“位值制”。算籌記數采用十進位值制，既較古巴比倫人的六十進制為優，又較古印度人的十進位值制要早（遲至6世紀末），可以說是中國古代算學取得輝煌成就的重要基礎之一。

宋朝以前，中國長期使用算籌計算，稱為“籌算”。宋朝以后，算盤計算逐漸得到推廣和運用，稱為“珠算”。明朝以后，籌算才被珠算所替代。如今中小學數學教學常用的筆算，實際上是來自西方系統的舶來品，遲至1910年代才逐漸得到廣泛的應用。籌算長期在計算中占據主要地位，應與古人的生活習慣有關。古人席地而坐，就地布氈，使用算籌十分方便。宋朝以后，垂足坐的起居方式逐步推廣，這時籌算就顯得不夠方便了，與桌案相適應的珠算自然應運而生。

關于算籌的形制大小，《射雕英雄傳》說“長約四寸，闊約二分”，實際上這是被改進后的樣子。《漢書·律歷志》：“算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。”這里的“一分”應為“三分”之誤。可見漢代以“長六寸、闊三分”為算籌的標準形制。漢代一尺約為23.1厘米，六寸為13.86厘米，三分為0.693厘米。北周甄鸞《數術記遺》：“積算，今之常算是也。以竹為之。長四寸以效四時，方三分以象三才。”其后《隋書·律歷志》也說：“其算用竹，廣二分，長三寸。”隋代一尺約為29.5厘米，四寸為11.8厘米，三寸為8.85厘米，三分為0.885厘米。算籌的長度逐漸改得短小，自然更便利于運用與攜帶。至于“四時”與“三才”之說，則是天人交感觀念在算數之學中又一反映。

《射雕英雄傳》中還涉及九宮圖（幻方）問題。最先出現的是“三階幻方”——九宮圖，即將1至9這9個數字排成3列，每行、每列、每條對角線上的3個數字之和都等于15。黃蓉給出的答案是：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”實際上，這一解答淵源有自，并非出自黃蓉的原創。

中國最早的“幻方”，被稱作“洛書”，與“河圖”并稱。相傳洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹。大禹依此治水成功，劃分天下為九州。又依此定九章大法，治理社會，此即《尚書·洪范》之原本。《易·系辭上》：“河出圖，洛出書，圣人則之。”由此河圖洛書成為中華文化之源，亦成為治理天下的基本依據。這是中國古代算學與神明之事相關聯的又一例證。漢代把洛書的圖形數字稱為“九宮算”，又稱為“縱橫圖”。北周甄鸞在《數術記遺》中對“九宮算”的圖形數字做過總結，形成了黃蓉所說的四字歌訣。這個歌訣，實際上反映了三階幻方的基本形式。

在《續古摘奇算法》一書中，楊輝最早對縱橫圖及其構成規律做出了探討。該書分為上下兩卷，下卷摘引各類算書中的“奇題”進行研究（故名之），上卷則專門討論20個縱橫圖。第一為河圖，第二為洛書，接著是四四、五五、六六、衍數、易數圖各2個，九九、百子圖各1個，最后有“攢九”幻圓和“聚五”“聚六”“聚八”“八陣”“連環”異形幻圓。

關于三階幻方生成方法與布局的口訣，楊輝的說法更勝一籌：“九子斜排，上下對易。左右相更，四維挺出。戴九履一，左三右七。二四為肩，六八為足。”后四句指的就是“洛書”。把1到9這9個數按順序斜排，然后“上下對易”，將1和9對調，接著“左右相更”，將7和3互換，最后“四維挺出”，將四面中間的數2，4，6，8向外挺出。前四句則道出了三階乃至任何奇階幻方的構造程序。“洛書”的圖案不過是三階幻方最為常見的一種形式。實際上，要使縱、橫、斜三線上的三個數相加為15，只能推算出8種可能。要使三階幻方成立，就只能把5放在中間的方格，將1、3、7、9放在靠邊的四個方格，將2、4、6、8放在四角的方格。這就是三階幻方的基本形式，只有1種。通過方陣的旋轉與映射，可以得到8種變幻，但它們都是同構的。

時至今日，幻方可以推廣到廣義幻方、幻體、雙隨機矩陣等方面，在生產生活中得到了廣泛應用，不僅運用于實驗設計、紡織、工藝美術、程序設計、航運、建筑設計等領域，而且還與目前大熱的人工智能深度結合。此外，幻方橫、豎、縱都分布平衡的特性，對保持社會乃至生態的平衡不無啟示意義。由此看來，古人認為河圖洛書包含了治國理政的基本原理，并非無稽之談，而是蘊含著中華民族對數理與時空觀念的深刻思考。縱橫圖對實際的生活應用問題沒有幫助，楊輝專門列出一卷討論縱橫圖的做法雖然有些獨特，但仔細想來，它又是對宏觀層面的天人關系與治國綱領的一種反映，并非純粹邏輯推理與演繹的結果。

（作者：鄭豪，系清華大學數學科學系助理研究員）